Τοποθετούμε ένα τηγάνι σε δυνατή φωτιά να κάψει. Προσθέτουμε το ελαιόλαδο και το βούτυρο. Κόβουμε τα κρεμμύδια στη μέση κάθετα και στη συνέχεια σε λεπτές φέτες. Προσθέτουμε τα κρεμμύδια στο τηγάνι και μαγειρεύουμε μέχρι να μαλακώσουν και να καραμελώσουν για 4-5 λεπτά. Προσθέτουμε τη ζάχαρη, το κάρυ και ανακατεύουμε. Στη συνέχεια κόβουμε τα μανιτάρια σε λεπτές φέτες και τα προσθέτουμε και αυτά στο τηγάνι. Αλατοπιπερώνουμε, προσθέτουμε το φρέσκο θυμάρι και ανακατεύουμε καλά, ανακατεύουμε συχνά για 6-7 λεπτά μέχρι να μαλακώσουν όλα τα λαχανικά μας, να χάσουν όλα τα υγρά τους και να μείνει ο μισός όγκος τους.

Αφαιρούμε τα λαχανικά από τη φωτιά και αφήνουμε στην άκρη.

Για τη μπριζόλα

Καθαρίζουμε το τηγάνι μας με λίγο χαρτί κουζίνας και ετοιμάζουμε τη μπριζόλα μας. Ρίχνουμε στη μπριζόλα 2 κ.σ. ελαιόλαδο, αλάτι, πιπέρι, γαλλική μουστάρδα  και τα αλείφουμε με τα χέρια μας ώστε να καλύψουμε όλη την επιφάνεια της. Τοποθετούμε το τηγάνι σε δυνατή φωτιά να κάψει καλά.
Βάζουμε τη μπριζόλα στο τηγάνι και ψήνουμε για 1 λεπτό από κάθε μεριά. Στην συνέχεια ρίχνουμε στο τηγάνι 1 κ.σ ελαιόλαδο, το βούτυρο, το φρέσκο δεντρολίβανο, το φρέσκο θυμάρι και το σκόρδο.

Με τη βοήθεια ενός κουταλιού περιχύνουμε και στις  δύο μεριές της μπριζόλας τα υγρά που έχει βγάλει από το ελαιόλαδο και το βούτυρο.
Αφαιρούμε από το τηγάνι και αφήνουμε τη μπριζόλα σε ένα ταψί. Βάζουμε το τριμμένο τυρί πάνω στη μπριζόλα και την τοποθετούμε στο φούρνο στους 180 C για 2-3 λεπτά να λιώσει το τυρί.